椭圆曲线加密算法，即：Elliptic Curve Cryptography，简称ECC，是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。相比RSA，ECC优势是可以使用更短的密钥，来实现与RSA相当或更高的安全。据研究，160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密。 椭圆曲线在密码学中的使用，是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。 ## 椭圆曲线 一般情况下，椭圆曲线可用下列方程式来表示，其中a,b,c,d为系数。 > E:y2=ax3+ bx2+cx+d 例如，当a=1,b=0,c=-2,d=4时，所得到的椭圆曲线为: > E:y2=x3-2x+4 ## 定义椭圆曲线的运算规则 ### 加法 过曲线上的两点A、B画一条直线，找到直线与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A+B，即为加法。 ### 二倍运算 上述方法无法解释A + A，即两点重合的情况。因此在这种情况下，将椭圆曲线在A点的切线，与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A + A，即2A，即为二倍运算。 ### 正负取反 将A关于x轴对称位置的点定义为-A，即椭圆曲线的正负取反运算。 ### 无穷远点 如果将A与-A相加，过A与-A的直线平行于y轴，可以认为直线与椭圆曲线相交于无穷远点。 综上，定义了A+B、2A运算，因此给定椭圆曲线的某一点G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G......。即：当给定G点时，已知x，求xG点并不困难。反之，已知xG点，求x则非常困难。此即为椭圆曲线加密算法背后的数学原理。 ## 有限域上的椭圆曲线运算 椭圆曲线要形成一条光滑的曲线，要求x,y取值均为实数，即实数域上的椭圆曲线。但椭圆曲线加密算法，并非使用实数域，而是使用有限域。按数论定义，有限域GF(p)指给定某个质数p，由0、1、2......p-1共p个元素组成的整数集合中定义的加减乘除运算。 假设椭圆曲线为y² = x³ + x + 1，其在有限域GF(23)上时，写作：y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)此时，椭圆曲线不再是一条光滑曲线，而是一些不连续的点，如下图所示。以点(1,7)为例，7² ≡ 1³ + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此还有如下点：(0,1) (0,22)　　(1,7) (1,16)　　(3,10) (3,13)　　(4,0)　　(5,4) (5,19)　　(6,4) (6,19)　　(7,11) (7,12)　　(9,7) (9,16)　　(11,3) (11,20)　　等等。 另外，如果P(x,y)为椭圆曲线上的点，则-P即(x,-y)也为椭圆曲线上的点。如点P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也为椭圆曲线上的点。 ## 生成密钥和地址 ​ 考虑一条椭圆曲线 $$ y^{2}=x^{3}+ax+b(mod\ p) $$ ，其上有点 G, G 的阶为 n 。任选整数 l