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椭圆曲线加密算法，即：Elliptic Curve Cryptography，简称ECC，是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。相比RSA，ECC优势是可以使用更短的密钥，来实现与RSA相当或更高的安全。据研究，160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密。
椭圆曲线在密码学中的使用，是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。
椭圆曲线
一般情况下，椭圆曲线可用下列方程式来表示，其中a,b,c,d为系数。
E:y2=ax3+ bx2+cx+d
例如，当a=1,b=0,c=-2,d=4时，所得到的椭圆曲线为:
E:y2=x3-2x+4
定义椭圆曲线的运算规则
加法
过曲线上的两点A、B画一条直线，找到直线与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A+B，即为加法。
二倍运算
上述方法无法解释A + A，即两点重合的情况。因此在这种情况下，将椭圆曲线在A点的切线，与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A + A，即2A，即为二倍运算。
正负取反
将A关于x轴对称位置的点定义为-A，即椭圆曲线的正负取反运算。
无穷远点
如果将A与-A相加，过A与-A的直线平行于y轴，可以认为直线与椭圆曲线相交于无穷远点。
综上，定义了A+B、2A运算，因此给定椭圆曲线的某一点G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G......。即：当给定G点时，已知x，求xG点并不困难。反之，已知xG点，求x则非常困难。此即为椭圆曲线加密算法背后的数学原理。
有限域上的椭圆曲线运算
椭圆曲线要形成一条光滑的曲线，要求x,y取值均为实数，即实数域上的椭圆曲线。但椭圆曲线加密算法，并非使用实数域，而是使用有限域。按数论定义，有限域GF(p)指给定某个质数p，由0、1、2......p-1共p个元素组成的整数集合中定义的加减乘除运算。
假设椭圆曲线为y² = x³ + x + 1，其在有限域GF(23)上时，写作：y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)此时，椭圆曲线不再是一条光滑曲线，而是一些不连续的点，如下图所示。以点(1,7)为例，7² ≡ 1³ + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此还有如下点：(0,1) (0,22) (1,7) (1,16) (3,10) (3,13) (4,0) (5,4) (5,19) (6,4) (6,19) (7,11) (7,12) (9,7) (9,16) (11,3) (11,20) 等等。
另外，如果P(x,y)为椭圆曲线上的点，则-P即(x,-y)也为椭圆曲线上的点。如点P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也为椭圆曲线上的点。
生成密钥和地址
考虑一条椭圆曲线
$$
y^{2}=x^{3}+ax+b(mod\ p)
$$
，其上有点 G, G 的阶为 n 。任选整数 l<k<n ，计算K=kG，则整数 k 和点 K，被称为一对密钥， k 为私钥， K 为公钥，点G 被称为基点 。 从椭圆曲线上点的运算法则来看 ，己知 G 和 K，逆向计算 k 是困难的， 一般只能通过枚举整个解空间求解。于是，在实际使用中，将模数 p 和 点 G 的阶 n 取相 当大的值，通过枚举计算 n-1 个解点从 K 来逆 向求解 k 是困难的，这就是椭圆 曲线加密算法的数学依据。
数字签名与认证
1）数字签名
假设某数字货币采用椭圆曲线加密，己知选用的椭圆曲线，基点为 G。前文提到，有效交易的每个输入单元都必须是有效的，如果张三要创建一条有效交易，如何用单个 UTXO 创建每一个输入单元呢？大致分为以下 5 个步骤。 第 l 步，张三在区块链中找到指向自己地址 A 的 UTXO 。 第 2 步，将交易的输入单元指向该 UTXO ，即定位指针指向该条 UTXO 在区块链中的位置，同时将自己钱包中与地址 A 对应的公钥 K 放入其中。 第 3 步，张三选择一个随机数此，一条公开明文 m，并将公开明文 m 的哈希值转换成整数 h 。 第 4 步，计算点 rG=rk • G，并令严r=rG.x ， 然后计算 s=(h+k • r）／rk，其中 k 为与公钥 K对应的私钥。 第 5 步，张三将 r,s 放到输入单元中，则输入单元创建完成。 以上过程就是数字签名的过程，也称私钥加密， r,s 也被称为数字签名，实质是一对整数点。
2 ）验证签名
李四是如何验证张三创建的输入单元的有效性呢？李四接收到输入单元后，会利用签 名 r,s 和公钥 K 执行如下 4 步操作。 第 1 步，李四将输入单元中的公钥 K 转换成地址 A’，如果 A '=A ，执行下一步。 第 2 步，李四将公开明文 m 用与张三一样的方式转换成整数 h 。 第 3 步，李四计算点 P=h • G/s+r • K/s 。 第 4 步，判断r=P.x，为真则验证通过，否则验证不通过。